$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の三角関数の方程式と不等式を解く問題です。 (1) $2\sqrt{3} \cos \theta - 3 = 0$ (2) $\sqrt{3} \tan \theta + 1 = 0$ (3) $2\sin \theta + \sqrt{3} < 0$ (4) $\tan \theta + \sqrt{3} \le 0$ (5) $\cos (\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (6) $\cos (\theta + \frac{\pi}{3}) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の三角関数の方程式と不等式を解く問題です。

(1) $2\sqrt{3} \cos \theta - 3 = 0$

(2) $\sqrt{3} \tan \theta + 1 = 0$

(3) $2\sin \theta + \sqrt{3} < 0$

(4) $\tan \theta + \sqrt{3} \le 0$

(5) $\cos (\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(6) $\cos (\theta + \frac{\pi}{3}) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $2\sqrt{3} \cos \theta - 3 = 0$ を解きます。

$\cos \theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{6}$ と $\theta = \frac{11\pi}{6}$ です。

(2) $\sqrt{3} \tan \theta + 1 = 0$ を解きます。

$\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となるのは $\theta = \frac{5\pi}{6}$ と $\theta = \frac{11\pi}{6}$ です。

(3) $2\sin \theta + \sqrt{3} < 0$ を解きます。

$\sin \theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $\theta = \frac{4\pi}{3}$ と $\theta = \frac{5\pi}{3}$ です。

よって、$\frac{4\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$ が解です。

(4) $\tan \theta + \sqrt{3} \le 0$ を解きます。

$\tan \theta \le -\sqrt{3}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\tan \theta = -\sqrt{3}$ となるのは $\theta = \frac{2\pi}{3}$ と $\theta = \frac{5\pi}{3}$ です。

$\tan \theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$ と $\theta = \frac{3\pi}{2}$ で定義されないことに注意すると、$\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta \le \frac{5\pi}{3}$ が解です。

(5) $\cos (\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を解きます。

$\alpha = \theta + \frac{\pi}{3}$ とおくと、$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

$0 \le \theta < 2\pi$ なので、$\frac{\pi}{3} \le \alpha < \frac{7\pi}{3}$ です。

$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ と $\alpha = \frac{7\pi}{6}$ です。

したがって、$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$ または $\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}$ となります。

$\theta = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ または $\theta = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$ が解です。

(6) $\cos (\theta + \frac{\pi}{3}) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を解きます。

$\alpha = \theta + \frac{\pi}{3}$ とおくと、$\cos \alpha > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

$0 \le \theta < 2\pi$ なので、$\frac{\pi}{3} \le \alpha < \frac{7\pi}{3}$ です。

$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ と $\alpha = \frac{7\pi}{6}$ です。

$\frac{\pi}{3} \le \alpha < \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{7\pi}{6} < \alpha < \frac{7\pi}{3}$ が解です。

$\alpha = \theta + \frac{\pi}{3}$ なので、$\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{7\pi}{6} < \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{7\pi}{3}$ です。

$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{3}$ が解です。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

(2) $\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

(3) $\frac{4\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$

(4) $\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{2} < \theta \le \frac{5\pi}{3}$

(5) $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}$

(6) $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{3}$