$\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲を求める問題です。ただし、$\theta$ の範囲は特に指定されていませんが、通常は $0 \leq \theta < 2\pi$ で考えます。

1. 問題の内容

$\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲を求める問題です。ただし、$\theta$ の範囲は特に指定されていませんが、通常は $0 \leq \theta < 2\pi$ で考えます。

2. 解き方の手順

まず、$x = \theta + \frac{\pi}{3}$ と置きます。

すると、与えられた不等式は $\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

次に、$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ を求めます。

$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ は、単位円を考えると、$\frac{5\pi}{6}$ と $\frac{7\pi}{6}$ です。

$\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ の範囲は、

$-\frac{5\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$、または

$\frac{7\pi}{6} < x < 2\pi - \frac{7\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ となります。

ただし、ここで $x$ の範囲を $0 \leq x < 2\pi$ とすると、$\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ は $\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$ は除く必要があります。

したがって、$0 \leq x < 2\pi$ において、$\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ の範囲は $0 \leq x < \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{7\pi}{6} < x < 2\pi$ となります。

次に、$x = \theta + \frac{\pi}{3}$ を $\theta$ について解きます。$\theta = x - \frac{\pi}{3}$ です。

$\theta = x - \frac{\pi}{3}$ を上記の範囲に代入して、$\theta$ の範囲を求めます。

$0 \leq x < 2\pi$ としているので、$\theta$ の範囲は $0 \leq \theta < 2\pi$ で考えます。

$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で考えると、

$x - \frac{\pi}{3} = \theta$ なので、

$0 \leq x - \frac{\pi}{3} < 2\pi$ すなわち $\frac{\pi}{3} \leq x < \frac{7\pi}{3}$ となります。

$\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ の範囲は $\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$ 以外なので、$\frac{\pi}{3} \leq x < \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{7\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{3}$ です。

それぞれの範囲から $\theta$ の範囲を求めると、

$\frac{\pi}{3} \leq x < \frac{5\pi}{6}$ より、$0 \leq \theta < \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$\frac{7\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{3}$ より、$\frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{3} < \theta < \frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{3}$

$\frac{7\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} < \theta < \frac{6\pi}{3} = 2\pi$

$\frac{5\pi}{6} < \theta < 2\pi$

したがって、$0 \leq \theta < 2\pi$ における答えは $0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{5\pi}{6} < \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

$0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{5\pi}{6} < \theta < 2\pi$