三角形ABCは半径 $\frac{2\sqrt{14}}{7}$ の円Kに内接しており、$\cos \angle BAC = -\frac{\sqrt{2}}{4}$、$AC = 1$である。$\sin \angle BAC$、$BC$、$\sin \angle ABC$、$\cos \angle ABC$、および$AB$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCは半径 $\frac{2\sqrt{14}}{7}$ の円Kに内接しており、$\cos \angle BAC = -\frac{\sqrt{2}}{4}$、$AC = 1$である。$\sin \angle BAC$、$BC$、$\sin \angle ABC$、$\cos \angle ABC$、および$AB$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \angle BAC$を求める。

$\sin^2 \angle BAC + \cos^2 \angle BAC = 1$より、

$\sin^2 \angle BAC = 1 - \cos^2 \angle BAC = 1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{2}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

$\angle BAC$は三角形の内角なので、$0 < \angle BAC < \pi$である。$\cos \angle BAC < 0$であるから、$\frac{\pi}{2} < \angle BAC < \pi$なので、$\sin \angle BAC > 0$。したがって、

$\sin \angle BAC = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$

(2) $BC$を求める。

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R$

$BC = 2R \sin \angle BAC = 2 \cdot \frac{2\sqrt{14}}{7} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4} = \frac{4 \cdot 14}{7 \cdot 4} = \frac{14}{7} = 2$

(3) $AB$を求める。

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$

$2^2 = AB^2 + 1^2 - 2 \cdot AB \cdot 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

$4 = AB^2 + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} AB$

$AB^2 + \frac{\sqrt{2}}{2} AB - 3 = 0$

$2AB^2 + \sqrt{2} AB - 6 = 0$

$AB = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{4} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 48}}{4} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{50}}{4} = \frac{-\sqrt{2} \pm 5\sqrt{2}}{4}$

$AB > 0$より、

$AB = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$

(4) $\sin \angle ABC$と$\cos \angle ABC$を求める。

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R$

$\sin \angle ABC = \frac{AC}{2R} = \frac{1}{2 \cdot \frac{2\sqrt{14}}{7}} = \frac{7}{4\sqrt{14}} = \frac{7\sqrt{14}}{4 \cdot 14} = \frac{\sqrt{14}}{8}$

$\angle ABC = \theta$とすると、$\angle ACB = \pi - \angle BAC - \angle ABC$

$\cos \angle ABC = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \angle ABC} = \pm \sqrt{1 - \frac{14}{64}} = \pm \sqrt{\frac{50}{64}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{8}$

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

$\frac{\sin \angle BAC}{BC} = \frac{\sin \angle ABC}{AC} = \frac{\sin \angle ACB}{AB}$

$\frac{\frac{\sqrt{14}}{4}}{2} = \frac{\sin \angle ABC}{1} = \frac{\sin \angle ACB}{\sqrt{2}}$

$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{14}}{8}$

$\cos \angle ABC = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \angle ABC} = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{14}}{8}\right)^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{14}{64}} = \pm \sqrt{\frac{50}{64}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{8}$

余弦定理 $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cos \angle ABC$より、

$1^2 = (\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cos \angle ABC$

$1 = 2 + 4 - 4\sqrt{2} \cos \angle ABC$

$4\sqrt{2} \cos \angle ABC = 5$

$\cos \angle ABC = \frac{5}{4\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

3. 最終的な答え

$\sin \angle BAC = \frac{\sqrt{14}}{4}$

$BC = 2$

$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{14}}{8}$

$\cos \angle ABC = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

$AB = \sqrt{2}$