$|\overrightarrow{OA}| = 5$, $|\overrightarrow{OB}| = 2$, $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 6$ のとき、$\triangle OAB$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$|\overrightarrow{OA}| = 5$, $|\overrightarrow{OB}| = 2$, $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 6$ のとき、$\triangle OAB$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

$\triangle OAB$ の面積を$S$とする。

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \cos \theta$ より、

$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}|}$

与えられた値より、

$\cos \theta = \frac{6}{5 \times 2} = \frac{3}{5}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ （$\theta$は三角形の内角なので$\sin \theta > 0$）

$\triangle OAB$ の面積$S$は、

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \sin \theta$

$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 2 \times \frac{4}{5}$

$S = 4$

3. 最終的な答え

4