問題5は、指定された関数のマクローリン展開を用いて、特定の点における近似値を求める問題です。具体的には、 (0) $\cos x$ のマクローリン展開の4次の項までを用いて $\cos 3$ の近似値を既約分数で求めます。 (1) $\sin x$ のマクローリン展開の5次の項までを用いて $\sin 3$ の近似値を既約分数で求めます。

1. 問題の内容

問題5は、指定された関数のマクローリン展開を用いて、特定の点における近似値を求める問題です。具体的には、

(0) $\cos x$ のマクローリン展開の4次の項までを用いて $\cos 3$ の近似値を既約分数で求めます。

(1) $\sin x$ のマクローリン展開の5次の項までを用いて $\sin 3$ の近似値を既約分数で求めます。

2. 解き方の手順

(0) $\cos x$ のマクローリン展開の4次の項までを使うと、

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\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}

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これに $x=3$ を代入すると、

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\cos 3 \approx 1 - \frac{3^2}{2!} + \frac{3^4}{4!} = 1 - \frac{9}{2} + \frac{81}{24} = 1 - \frac{9}{2} + \frac{27}{8}

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通分して計算すると、

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\cos 3 \approx \frac{8 - 36 + 27}{8} = \frac{-1}{8}

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(1) $\sin x$ のマクローリン展開の5次の項までを使うと、

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\sin x \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}

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これに $x=3$ を代入すると、

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\sin 3 \approx 3 - \frac{3^3}{3!} + \frac{3^5}{5!} = 3 - \frac{27}{6} + \frac{243}{120} = 3 - \frac{9}{2} + \frac{81}{40}

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通分して計算すると、

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\sin 3 \approx \frac{120 - 180 + 81}{40} = \frac{21}{40}

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3. 最終的な答え

(0) $\cos 3 \approx -\frac{1}{8}$

(1) $\sin 3 \approx \frac{21}{40}$