円 $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 4 = 0$ の接線で、傾きが2のものを求め、その接点の座標を求める。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 4 = 0$ の接線で、傾きが2のものを求め、その接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円の方程式を標準形に変形する。

$x^2 + 2x + y^2 + 4y - 4 = 0$

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) - 1 - 4 - 4 = 0$

$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$

これにより、円の中心は $(-1, -2)$ で、半径は $3$ であることがわかる。

傾きが2の接線の方程式を $y = 2x + k$ とおく。

接線と円の中心の距離は半径に等しいので、点と直線の距離の公式を用いる。

$y = 2x + k$ を $2x - y + k = 0$ と変形する。

点 $(-1, -2)$ と直線 $2x - y + k = 0$ の距離は

$\frac{|2(-1) - (-2) + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2 + 2 + k|}{\sqrt{5}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$

これが半径 $3$ に等しいので、

$\frac{|k|}{\sqrt{5}} = 3$

$|k| = 3\sqrt{5}$

$k = \pm 3\sqrt{5}$

したがって、接線の方程式は

$y = 2x \pm 3\sqrt{5}$

次に、接点の座標を求める。

$y = 2x + 3\sqrt{5}$ のとき、これを円の方程式に代入する。

$(x+1)^2 + (2x + 3\sqrt{5} + 2)^2 = 9$

$(x+1)^2 + (2x + 2 + 3\sqrt{5})^2 = 9$

$x^2 + 2x + 1 + 4x^2 + 8x + 4 + 12\sqrt{5}x + 12\sqrt{5} + 45 = 9$

$5x^2 + (10 + 12\sqrt{5})x + 41 + 12\sqrt{5} = 0$

$y = 2x - 3\sqrt{5}$ のとき、これを円の方程式に代入する。

$(x+1)^2 + (2x - 3\sqrt{5} + 2)^2 = 9$

$(x+1)^2 + (2x + 2 - 3\sqrt{5})^2 = 9$

$x^2 + 2x + 1 + 4x^2 + 8x + 4 - 12\sqrt{5}x - 12\sqrt{5} + 45 = 9$

$5x^2 + (10 - 12\sqrt{5})x + 41 - 12\sqrt{5} = 0$

接線なので、判別式は0になる。

接点の $x$ 座標は

$x = \frac{-(10 \pm 12\sqrt{5})}{2 \cdot 5} = \frac{-5 \mp 6\sqrt{5}}{5} = -1 \mp \frac{6\sqrt{5}}{5}$

$x = -1 - \frac{6\sqrt{5}}{5}$ のとき、

$y = 2(-1 - \frac{6\sqrt{5}}{5}) - 3\sqrt{5} = -2 - \frac{12\sqrt{5}}{5} - \frac{15\sqrt{5}}{5} = -2 - \frac{27\sqrt{5}}{5}$

$x = -1 + \frac{6\sqrt{5}}{5}$ のとき、

$y = 2(-1 + \frac{6\sqrt{5}}{5}) + 3\sqrt{5} = -2 + \frac{12\sqrt{5}}{5} + \frac{15\sqrt{5}}{5} = -2 + \frac{27\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = 2x \pm 3\sqrt{5}$。

接点の座標は $(-1 - \frac{6\sqrt{5}}{5}, -2 - \frac{27\sqrt{5}}{5})$ と $(-1 + \frac{6\sqrt{5}}{5}, -2 + \frac{27\sqrt{5}}{5})$。