$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 1$ であり、$\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 1$ であり、$\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{b}$ が垂直であることから、$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ が成り立つ。

この式を展開すると、

$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 0$

$|\vec{b}| = 1$ より

$\vec{a} \cdot \vec{b} + 1 = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ であるから、

$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = -1$

$2 \cdot 1 \cdot \cos\theta = -1$

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta \le \pi$ であるから、$\theta = \frac{2}{3}\pi$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{2}{3}\pi$