(1) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}$ について、以下の2つの問題を解きます。 * (1) $3(\vec{a} + \vec{b} + \vec{x}) = 5\vec{b}$ を満たす $\vec{x}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す。 * (2) $2\vec{a} - 3\vec{x} = \vec{x} - 3\vec{b}$ を満たす $\vec{x}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す。 (2) $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$ であり、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $\frac{2}{3}\pi$ のとき、$|\vec{a} + 2\vec{b}|$ を求める。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}$ について、以下の2つの問題を解きます。

* (1) $3(\vec{a} + \vec{b} + \vec{x}) = 5\vec{b}$ を満たす $\vec{x}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す。

* (2) $2\vec{a} - 3\vec{x} = \vec{x} - 3\vec{b}$ を満たす $\vec{x}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す。

(2) $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$ であり、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $\frac{2}{3}\pi$ のとき、$|\vec{a} + 2\vec{b}|$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) (1) の解き方:

与えられた式を変形して $\vec{x}$ について解きます。

$3(\vec{a} + \vec{b} + \vec{x}) = 5\vec{b}$

$3\vec{a} + 3\vec{b} + 3\vec{x} = 5\vec{b}$

$3\vec{x} = 2\vec{b} - 3\vec{a}$

$\vec{x} = \frac{2}{3}\vec{b} - \vec{a}$

(1) (2) の解き方:

与えられた式を変形して $\vec{x}$ について解きます。

$2\vec{a} - 3\vec{x} = \vec{x} - 3\vec{b}$

$2\vec{a} + 3\vec{b} = 4\vec{x}$

$\vec{x} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$

(2) $|\vec{a} + 2\vec{b}|$ の解き方:

$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2$ を計算し、平方根を取ります。

$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b})$

$= |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$

ここで、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ であり、$\theta = \frac{2}{3}\pi$ なので、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 4 \times \cos(\frac{2}{3}\pi) = 12 \times (-\frac{1}{2}) = -6$

したがって、

$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = 3^2 + 4(-6) + 4(4^2) = 9 - 24 + 64 = 49$

$|\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{49} = 7$

3. 最終的な答え

(1) (1) $\vec{x} = \frac{2}{3}\vec{b} - \vec{a}$

(1) (2) $\vec{x} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$

(2) $|\vec{a} + 2\vec{b}| = 7$