与えられた倍角の公式を変形して、$\tan^2 \alpha$ を $\cos 2\alpha$ を用いて表す問題です。ただし、与えられた式では $\cos \alpha$ となっているので、まずは $\cos \alpha$ ではなく $\cos 2\alpha$ を用いて表す公式を導出します。

1. 問題の内容

与えられた倍角の公式を変形して、$\tan^2 \alpha$ を $\cos 2\alpha$ を用いて表す問題です。ただし、与えられた式では $\cos \alpha$ となっているので、まずは $\cos \alpha$ ではなく $\cos 2\alpha$ を用いて表す公式を導出します。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$ と $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$ を用いて、$\tan^2 \alpha$ を計算します。

$\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$ なので、

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\tan^2 \alpha = \frac{\frac{1 - \cos 2\alpha}{2}}{\frac{1 + \cos 2\alpha}{2}}

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分母分子に2をかけて整理すると、

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\tan^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}

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次に、問題に書かれている $\cos \alpha$ を用いた公式を導出します。

倍角の公式 $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ を用いて $\cos 2\alpha$ を $\cos \alpha$ で表すと、$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ となります。

これより、

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\tan^2 \alpha = \frac{1 - (2\cos^2 \alpha - 1)}{1 + (2\cos^2 \alpha - 1)} = \frac{2 - 2\cos^2 \alpha}{2\cos^2 \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}

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これは当然成り立つ式ですが、$\cos \alpha$ を用いた $\tan^2 \alpha$ の表示にはなっていません。

問題文にある通り、倍角の公式を変形するので、$2\alpha$ の部分を $\alpha$ とすることで、$\alpha$ の部分が $\frac{\alpha}{2}$ に置き換わることに注意します。

$\cos \alpha = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$ より $\sin^2 (\frac{\alpha}{2}) = \frac{1-\cos \alpha}{2}$

$\cos \alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - 1$ より $\cos^2 (\frac{\alpha}{2}) = \frac{1+\cos \alpha}{2}$

よって、

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\tan^2 (\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin^2 (\frac{\alpha}{2})}{\cos^2 (\frac{\alpha}{2})} = \frac{\frac{1-\cos \alpha}{2}}{\frac{1+\cos \alpha}{2}} = \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}

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3. 最終的な答え

$\tan^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}$

$\tan^2 (\frac{\alpha}{2}) = \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}$