数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。次の3つの場合にそれぞれ解きます。 (1) $S_n = n \cdot 2^n$ (2) $S_n = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ (3) $S_n = n^3 + 2n + 6$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。次の3つの場合にそれぞれ解きます。

(1) $S_n = n \cdot 2^n$

(2) $S_n = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

(3) $S_n = n^3 + 2n + 6$

2. 解き方の手順

一般項 $a_n$ を求めるには、次の関係式を利用します。

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1$

(1) $S_n = n \cdot 2^n$ の場合

まず、$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ を計算します。

$a_n = n \cdot 2^n - (n-1) \cdot 2^{n-1} = n \cdot 2^n - (n-1) \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^n = 2^n (n - \frac{n-1}{2}) = 2^n (\frac{2n - n + 1}{2}) = 2^n (\frac{n+1}{2}) = (n+1)2^{n-1}$

次に、$a_1 = S_1$ を計算します。

$a_1 = S_1 = 1 \cdot 2^1 = 2$

$n=1$ のとき、上の式に代入すると、 $(1+1)2^{1-1} = 2 \cdot 1 = 2$。 よって、$n \geq 1$ で成り立ちます。

(2) $S_n = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ の場合

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ を計算します。

$a_n = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2) - \frac{1}{3}(n-1)n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)[(n+2) - (n-1)] = \frac{1}{3}n(n+1)(3) = n(n+1)$

次に、$a_1 = S_1$ を計算します。

$a_1 = S_1 = \frac{1}{3}(1)(1+1)(1+2) = \frac{1}{3}(1)(2)(3) = 2$

$n=1$ のとき、上の式に代入すると、$1(1+1) = 2$。 よって、$n \geq 1$ で成り立ちます。

(3) $S_n = n^3 + 2n + 6$ の場合

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ を計算します。

$a_n = (n^3 + 2n + 6) - ((n-1)^3 + 2(n-1) + 6) = n^3 + 2n + 6 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + 2n - 2 + 6) = n^3 + 2n + 6 - n^3 + 3n^2 - 5n + 1 - 6 + 2 = 3n^2 - 3n + 3 = 3(n^2 - n + 1)$

次に、$a_1 = S_1$ を計算します。

$a_1 = S_1 = 1^3 + 2(1) + 6 = 1 + 2 + 6 = 9$

$n=1$ のとき、上の式に代入すると、$3(1^2 - 1 + 1) = 3(1) = 3$。 よって、$a_1 = 9$ で、$n \geq 2$ のとき、$a_n = 3(n^2 - n + 1)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = (n+1)2^{n-1}$

(2) $a_n = n(n+1)$

(3) $a_1 = 9$, $a_n = 3(n^2 - n + 1)$ ($n \geq 2$)