平面上の3点 $O(0, 0)$, $A(63, 0)$, $B(15, 20)$ を頂点とする三角形OABについて、重心、外心、内心、垂心の座標をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

平面上の3点 $O(0, 0)$, $A(63, 0)$, $B(15, 20)$ を頂点とする三角形OABについて、重心、外心、内心、垂心の座標をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 重心

重心の座標は、各頂点の座標の平均である。

$G = (\frac{x_O + x_A + x_B}{3}, \frac{y_O + y_A + y_B}{3})$

$G = (\frac{0 + 63 + 15}{3}, \frac{0 + 0 + 20}{3})$

$G = (\frac{78}{3}, \frac{20}{3})$

$G = (26, \frac{20}{3})$

(2) 外心

外心は、三角形の外接円の中心である。外心を$P(x, y)$とすると、$OP = AP = BP$が成り立つ。

$OP^2 = x^2 + y^2$

$AP^2 = (x - 63)^2 + y^2$

$BP^2 = (x - 15)^2 + (y - 20)^2$

$OP^2 = AP^2$より、

$x^2 + y^2 = (x - 63)^2 + y^2$

$x^2 = x^2 - 126x + 63^2$

$126x = 63^2$

$x = \frac{63^2}{126} = \frac{63}{2} = 31.5$

$OP^2 = BP^2$より、

$x^2 + y^2 = (x - 15)^2 + (y - 20)^2$

$x^2 + y^2 = x^2 - 30x + 225 + y^2 - 40y + 400$

$0 = -30x - 40y + 625$

$40y = -30x + 625$

$y = \frac{-30x + 625}{40} = \frac{-3x}{4} + \frac{125}{8}$

$x = 31.5$を代入すると、

$y = \frac{-3 \times 31.5}{4} + \frac{125}{8} = \frac{-94.5}{4} + \frac{125}{8} = \frac{-189}{8} + \frac{125}{8} = \frac{-64}{8} = -8$

外心は$(31.5, -8)$

(3) 内心

内心を$I(x, y)$とする。

$OA = 63$

$OB = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$

$AB = \sqrt{(63 - 15)^2 + (0 - 20)^2} = \sqrt{48^2 + 20^2} = \sqrt{2304 + 400} = \sqrt{2704} = 52$

$x = \frac{OA \times x_B + OB \times x_A + AB \times x_O}{OA + OB + AB} = \frac{63 \times 15 + 25 \times 63 + 52 \times 0}{63 + 25 + 52} = \frac{945 + 1575}{140} = \frac{2520}{140} = 18$

$y = \frac{OA \times y_B + OB \times y_A + AB \times y_O}{OA + OB + AB} = \frac{63 \times 20 + 25 \times 0 + 52 \times 0}{63 + 25 + 52} = \frac{1260}{140} = 9$

内心は$(18, 9)$

(4) 垂心

$O(0, 0)$, $A(63, 0)$, $B(15, 20)$

OBの傾きは$\frac{20}{15} = \frac{4}{3}$

AからOBに下ろした垂線の傾きは $-\frac{3}{4}$

AからOBに下ろした垂線の方程式は$y = -\frac{3}{4}(x - 63)$

OAの傾きは0

BからOAに下ろした垂線の方程式は$x = 15$

$y = -\frac{3}{4}(15 - 63) = -\frac{3}{4}(-48) = 36$

垂心は$(15, 36)$

3. 最終的な答え

重心: $(26, \frac{20}{3})$

外心: $(31.5, -8)$

内心: $(18, 9)$

垂心: $(15, 36)$