関数 $f(x) = x^2 - 6ax + 9a^2 + 3$ ($ -2 \le x \le 2$) の最大値を $M(a)$ とする。関数 $f(x)$ のグラフである放物線 $C$ の頂点、軸の方程式を求め、さらに $a < 0$ のときと $a \ge 0$ のときの $M(a)$ をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 6ax + 9a^2 + 3$ ($-2 \le x \le 2$) の最大値を $M(a)$ とする。関数 $f(x)$ のグラフである放物線 $C$ の頂点、軸の方程式を求め、さらに $a < 0$ のときと $a \ge 0$ のときの $M(a)$ をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 6ax + 9a^2 + 3 = (x - 3a)^2 + 3$

したがって、放物線 $C$ の頂点は $(3a, 3)$ である。

$C$ の軸の方程式は $x = 3a$ である。

次に、最大値 $M(a)$ を求める。

(i) $a < 0$ のとき

軸 $x = 3a$ は区間 $[-2, 2]$ の左側にある。したがって、$x = 2$ で最大値をとる。

$M(a) = f(2) = 2^2 - 6a(2) + 9a^2 + 3 = 4 - 12a + 9a^2 + 3 = 9a^2 - 12a + 7$

(ii) $a \ge 0$ のとき

軸 $x = 3a$ の位置によって場合分けが必要である。

$3a \le 2$つまり$0 \le a \le \frac{2}{3}$のとき軸は区間内にあるので$x = -2$で最大値をとる。

$f(-2) = (-2)^2 - 6a(-2) + 9a^2 + 3 = 4 + 12a + 9a^2 + 3 = 9a^2 + 12a + 7$

$3a > 2$つまり$a > \frac{2}{3}$のとき、$x=-2$で最大値を取る。このときも

$f(-2) = (-2)^2 - 6a(-2) + 9a^2 + 3 = 4 + 12a + 9a^2 + 3 = 9a^2 + 12a + 7$

したがって、$a \ge 0$ のとき $M(a) = 9a^2 + 12a + 7$

3. 最終的な答え

ア: (3a, 3)

イ: 3a

ウ: -12

エ: 7

オ: 12

カ: 7