$0 < a < 3$ を満たす定数 $a$ が与えられたとき、関数 $f(x) = |x^2 - 3x|$ について、以下の問いに答えます。 (1) $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。 (2) $y = x^2 - 3x$ のグラフと直線 $l: y = ax$ で囲まれた部分の面積 $T$ を求めます。 また、$y = f(x)$ のグラフと直線 $l$ で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるような定数 $a$ の値を求めます。$6S = T$ が成り立つことから $a$ の値を求めます。ただし、根号を含む場合は、根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えます。

1. 問題の内容

$0 < a < 3$ を満たす定数 $a$ が与えられたとき、関数 $f(x) = |x^2 - 3x|$ について、以下の問いに答えます。

(1) $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

(2) $y = x^2 - 3x$ のグラフと直線 $l: y = ax$ で囲まれた部分の面積 $T$ を求めます。

また、$y = f(x)$ のグラフと直線 $l$ で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるような定数 $a$ の値を求めます。$6S = T$ が成り立つことから $a$ の値を求めます。ただし、根号を含む場合は、根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えます。

2. 解き方の手順

(1) $y = f(x) = |x^2 - 3x|$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

$x^2 - 3x = 0$ となるのは、$x = 0, 3$ のときです。$0 \le x \le 3$ の範囲で $x^2 - 3x \le 0$ となるので、$f(x) = -x^2 + 3x$ です。

したがって、$S = \int_0^3 (-x^2 + 3x) \, dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_0^3 = -\frac{1}{3}(3^3) + \frac{3}{2}(3^2) = -9 + \frac{27}{2} = \frac{-18 + 27}{2} = \frac{9}{2}$

(2) $y = x^2 - 3x$ のグラフと直線 $y = ax$ で囲まれた部分の面積 $T$ を求めます。

$x^2 - 3x = ax$ を解くと、$x^2 - (3+a)x = 0$ より、$x(x - (3+a)) = 0$ となるので、$x = 0, 3+a$ です。

したがって、$T = \left| \int_0^{3+a} (x^2 - (3+a)x) \, dx \right| = \left| \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{3+a}{2}x^2 \right]_0^{3+a} \right| = \left| \frac{1}{3}(3+a)^3 - \frac{3+a}{2}(3+a)^2 \right| = \left| \frac{1}{3}(3+a)^3 - \frac{1}{2}(3+a)^3 \right| = \left| -\frac{1}{6}(3+a)^3 \right| = \frac{(3+a)^3}{6}$

$6S = T$ より、$6 \cdot \frac{9}{2} = \frac{(3+a)^3}{6}$ となるので、$27 = \frac{(3+a)^3}{6}$ を解きます。

$(3+a)^3 = 27 \cdot 6 = 162$

$3+a = \sqrt[3]{162} = \sqrt[3]{27 \cdot 6} = 3\sqrt[3]{6}$

$a = 3\sqrt[3]{6} - 3 = 3(\sqrt[3]{6} - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{9}{2}$

(2) $T = \frac{(a+3)^3}{6}$

$a = 3\sqrt[3]{6} - 3$