関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + a$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値を $M(a)$ とする。放物線 $C$ である関数 $f(x)$ のグラフの頂点と、軸の方程式を求め、$a < \frac{1}{2}$ のときと、$a \ge \frac{1}{2}$ のときの $M(a)$ をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + a$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値を $M(a)$ とする。放物線 $C$ である関数 $f(x)$ のグラフの頂点と、軸の方程式を求め、$a < \frac{1}{2}$ のときと、$a \ge \frac{1}{2}$ のときの $M(a)$ をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成させます。

$f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + a = (x - a)^2 + a$

したがって、放物線 $C$ の頂点は $(a, a)$ であり、軸の方程式は $x = a$ です。

次に、$-1 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値 $M(a)$ を求めます。

(i) $a < \frac{1}{2}$ のとき

このとき、$x=2$ のときに最大値をとります。

$M(a) = f(2) = (2-a)^2 + a = 4 - 4a + a^2 + a = a^2 - 3a + 4$

(ii) $a \ge \frac{1}{2}$ のとき

このとき、$x = -1$ のときに最大値をとります。

$M(a) = f(-1) = (-1 - a)^2 + a = (1+a)^2 + a = 1 + 2a + a^2 + a = a^2 + 3a + 1$

3. 最終的な答え

ア：$(a, a)$

イ：$a$

ウ：$-3$

エ：$4$

オ：$3$

カ：$1$