数列 $\frac{2}{1 \cdot 5}, \frac{2}{5 \cdot 9}, \frac{2}{9 \cdot 13}, \frac{2}{13 \cdot 17}, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\frac{2}{1 \cdot 5}, \frac{2}{5 \cdot 9}, \frac{2}{9 \cdot 13}, \frac{2}{13 \cdot 17}, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。

2. 解き方の手順

この数列の一般項 $a_n$ は、次のように表されます。

$a_n = \frac{2}{(4n-3)(4n+1)}$

部分分数分解をします。

$\frac{2}{(4n-3)(4n+1)} = \frac{A}{4n-3} + \frac{B}{4n+1}$

$2 = A(4n+1) + B(4n-3)$

$n = \frac{3}{4}$ を代入すると、

$2 = A(3+1) + B(3-3) = 4A$

$A = \frac{1}{2}$

$n = -\frac{1}{4}$ を代入すると、

$2 = A(-1+1) + B(-1-3) = -4B$

$B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$a_n = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1}\right)$

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1}\right)$

$= \frac{1}{2} \left[\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{13}\right) + \dots + \left(\frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1}\right)\right]$

$= \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{4n+1}\right)$

$= \frac{1}{2} \left(\frac{4n+1-1}{4n+1}\right)$

$= \frac{1}{2} \left(\frac{4n}{4n+1}\right)$

$= \frac{2n}{4n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{2n}{4n+1}$