$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+3}+\sqrt{k+4}}$ を計算し、$n$ の式で表す。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+3}+\sqrt{k+4}}$ を計算し、$n$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、各項の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{k+3}+\sqrt{k+4}} = \frac{\sqrt{k+4}-\sqrt{k+3}}{(\sqrt{k+3}+\sqrt{k+4})(\sqrt{k+4}-\sqrt{k+3})}$

$= \frac{\sqrt{k+4}-\sqrt{k+3}}{(k+4)-(k+3)} = \sqrt{k+4}-\sqrt{k+3}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+3}+\sqrt{k+4}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+4}-\sqrt{k+3})$

これはtelescoping sum（階差の和）なので、書き下していくと

$(\sqrt{5}-\sqrt{4}) + (\sqrt{6}-\sqrt{5}) + (\sqrt{7}-\sqrt{6}) + \cdots + (\sqrt{n+4}-\sqrt{n+3})$

となり、多くの項が打ち消し合います。残るのは$-\sqrt{4}$ と $\sqrt{n+4}$ だけです。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+4}-\sqrt{k+3}) = \sqrt{n+4} - \sqrt{4} = \sqrt{n+4} - 2$

3. 最終的な答え

$\sqrt{n+4} - 2$