与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列 $S$ は以下の式で定義されます。 $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列 $S$ は以下の式で定義されます。

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$

2. 解き方の手順

この問題は、等比数列の和の公式を利用して解きます。

まず、$S$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n}$

次に、$S$ から $\frac{1}{3}S$ を引きます。

$S - \frac{1}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}$

右辺の $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}}$ は、初項1、公比$\frac{1}{3}$、項数$n$の等比数列の和なので、公式を用いて計算できます。等比数列の和の公式は $a\frac{1-r^n}{1-r}$ なので、

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - \frac{1}{3^n}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$

これを $\frac{2}{3}S$ の式に代入します。

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^n}$

両辺に$\frac{3}{2}$をかけます。

$S = \frac{9}{4}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{3n}{2 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9}{4} - \frac{9}{4 \cdot 3^n} - \frac{3n}{2 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9}{4} - \frac{9}{4 \cdot 3^n} - \frac{6n}{4 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9}{4} - \frac{6n + 9}{4 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9}{4} - \frac{2n + 3}{4 \cdot 3^{n-2}}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{9}{4} - \frac{2n+3}{4 \cdot 3^{n-2}}$

または

$S = \frac{9 \cdot 3^n - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$