次の和 $S$ を求めます。 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

$S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1}$ を計算します。

まず、$S$ を次のように書きます。

$S = 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$

次に、$2S$ を次のように書きます。

$2S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^4 + \dots + n \cdot 2^{n}$

$S - 2S$ を計算します。

$S - 2S = (1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^{n-1}) - (1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^{n})$

$-S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1} - n \cdot 2^{n}$

$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1}$ は初項 $1$, 公比 $2$, 項数 $n$ の等比数列の和なので、

$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$

したがって、

$-S = 2^n - 1 - n \cdot 2^n$

$S = -2^n + 1 + n \cdot 2^n$

$S = (n-1) 2^n + 1$

3. 最終的な答え

$S = (n-1)2^n + 1$