$(2x^2 - \frac{1}{x})^6$ を展開したとき、次の項の係数を求めます。 (1) $x^3$ の項 (2) $\frac{1}{x^3}$ の項 (3) 定数項

1. 問題の内容

$(2x^2 - \frac{1}{x})^6$ を展開したとき、次の項の係数を求めます。

(1) $x^3$ の項

(2) $\frac{1}{x^3}$ の項

(3) 定数項

2. 解き方の手順

二項定理より、$(2x^2 - \frac{1}{x})^6$ の展開における一般項は、

$${}_6 C_r (2x^2)^{6-r} (-\frac{1}{x})^r = {}_6 C_r \cdot 2^{6-r} \cdot x^{2(6-r)} \cdot (-1)^r \cdot x^{-r} = {}_6 C_r \cdot 2^{6-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{12-2r-r} = {}_6 C_r \cdot 2^{6-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{12-3r}$$

となります。

(1) $x^3$ の項の係数を求めます。

$12-3r=3$ となる $r$ を求めます。

$3r = 9$ より $r=3$

このとき、係数は

$${}_6 C_3 \cdot 2^{6-3} \cdot (-1)^3 = \frac{6!}{3!3!} \cdot 2^3 \cdot (-1) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 8 \cdot (-1) = 20 \cdot 8 \cdot (-1) = -160$$

(2) $\frac{1}{x^3}$ の項の係数を求めます。

$12-3r=-3$ となる $r$ を求めます。

$3r = 15$ より $r=5$

このとき、係数は

$${}_6 C_5 \cdot 2^{6-5} \cdot (-1)^5 = \frac{6!}{5!1!} \cdot 2^1 \cdot (-1) = 6 \cdot 2 \cdot (-1) = -12$$

(3) 定数項の係数を求めます。

$12-3r=0$ となる $r$ を求めます。

$3r = 12$ より $r=4$

このとき、係数は

$${}_6 C_4 \cdot 2^{6-4} \cdot (-1)^4 = \frac{6!}{4!2!} \cdot 2^2 \cdot 1 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60$$

3. 最終的な答え

(1) $x^3$ の項の係数は $-160$

(2) $\frac{1}{x^3}$ の項の係数は $-12$

(3) 定数項の係数は $60$