次の和 $S$ を求めます。 $S = 2n \cdot 1 + (2n-2) \cdot 3 + (2n-4) \cdot 3^2 + \cdots + 4 \cdot 3^{n-2} + 2 \cdot 3^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = 2n \cdot 1 + (2n-2) \cdot 3 + (2n-4) \cdot 3^2 + \cdots + 4 \cdot 3^{n-2} + 2 \cdot 3^{n-1}$

2. 解き方の手順

与えられた和 $S$ は、次のように表されます。

$S = \sum_{k=0}^{n-1} (2n - 2k) \cdot 3^k = \sum_{k=0}^{n-1} 2(n-k) \cdot 3^k = 2 \sum_{k=0}^{n-1} (n-k) \cdot 3^k$

ここで、$S = 2 \sum_{k=0}^{n-1} (n-k) \cdot 3^k$ を計算します。

$S = 2[n \cdot 1 + (n-1) \cdot 3 + (n-2) \cdot 3^2 + \dots + 2 \cdot 3^{n-2} + 1 \cdot 3^{n-1}]$

$3S = 2[n \cdot 3 + (n-1) \cdot 3^2 + (n-2) \cdot 3^3 + \dots + 2 \cdot 3^{n-1} + 1 \cdot 3^{n}]$

$S - 3S = 2[n + (n-1) \cdot 3 - n \cdot 3 + (n-2) \cdot 3^2 - (n-1) \cdot 3^2 + \dots + 2 \cdot 3^{n-2} - 3 \cdot 3^{n-2} + 1 \cdot 3^{n-1} - 2 \cdot 3^{n-1} - 3^n]$

$-2S = 2[n - 3 - 3^2 - 3^3 - \dots - 3^{n-1} - 3^n]$

$-2S = 2[n - \sum_{k=1}^{n} 3^k ] = 2[n - \frac{3(3^n - 1)}{3-1}] = 2[n - \frac{3(3^n - 1)}{2}]$

$-S = n - \frac{3(3^n - 1)}{2}$

$S = \frac{3(3^n - 1)}{2} - n = \frac{3^{n+1} - 3}{2} - n = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{2}$