## 問題の内容

## 問題の内容

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = m(x+2)$ が異なる二点A, Bで交わるとき、以下の問いに答えよ。

(1) 定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

(2) $m$ の値が変化するとき、線分ABの中点の軌跡を求めよ。

## 解き方の手順

(1)

放物線と直線が異なる2点で交わる条件は、連立方程式の実数解が2つ存在することです。

$y = x^2$ と $y = m(x+2)$ を連立すると、

$x^2 = m(x+2)$

$x^2 = mx + 2m$

$x^2 - mx - 2m = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D > 0$ である必要があります。

判別式 $D$ は

$D = (-m)^2 - 4(1)(-2m) = m^2 + 8m$

したがって、$m^2 + 8m > 0$ である必要があります。

$m(m+8) > 0$

これを解くと、$m < -8$ または $m > 0$

(2)

線分ABの中点の座標を $(X, Y)$ とします。

2次方程式 $x^2 - mx - 2m = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = m$

中点のx座標 $X$ は、

$X = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{m}{2}$

したがって、$m = 2X$

中点のy座標 $Y$ は、

$Y = X^2 = (\frac{\alpha + \beta}{2})^2$

または直線 $y = m(x+2)$ より

$Y = m(X+2) = 2X(X+2) = 2X^2 + 4X$

$m = 2X$ を $m < -8$ または $m > 0$ に代入すると、

$2X < -8$ または $2X > 0$

$X < -4$ または $X > 0$

したがって、線分ABの中点の軌跡は $Y = X^2$ で、$X < -4$ または $X > 0$ の範囲です。

## 最終的な答え

(1) $m < -8$ または $m > 0$

(2) $y = 2x^2 + 4x$ ($x < -4$ または $x > 0$)