(3) 初項2、公比-3、項数6の等比数列の和を求めます。 (5) 数列 $3\cdot0+4\cdot1+5\cdot2+6\cdot3+ \dots + (n+2)(n-1)$ の和を求めます。 (4) 496の正の約数の和を求めます。

1. 問題の内容

(3) 初項2、公比-3、項数6の等比数列の和を求めます。

(5) 数列 $3\cdot0+4\cdot1+5\cdot2+6\cdot3+ \dots + (n+2)(n-1)$ の和を求めます。

(4) 496の正の約数の和を求めます。

2. 解き方の手順

(3) 等比数列の和の公式を利用します。初項を $a$ 、公比を $r$ 、項数を $n$ とすると、和 $S_n$ は次の式で表されます。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

この問題では、$a=2$, $r=-3$, $n=6$ なので、これを代入します。

$S_6 = \frac{2(1-(-3)^6)}{1-(-3)} = \frac{2(1-729)}{4} = \frac{2(-728)}{4} = -364$

(5) 数列の第$k$項は $(k+2)(k-1) = k^2 + k - 2$ で表されます。 したがって、数列の和は、

$\sum_{k=1}^n (k^2 + k - 2) = \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k - \sum_{k=1}^n 2$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n 2 = 2n$

したがって、

$\sum_{k=1}^n (k^2 + k - 2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - 2n = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) - 12n}{6}$

$= \frac{n[(n+1)(2n+1) + 3(n+1) - 12]}{6} = \frac{n[2n^2+3n+1+3n+3-12]}{6} = \frac{n(2n^2+6n-8)}{6}$

$= \frac{2n(n^2+3n-4)}{6} = \frac{n(n^2+3n-4)}{3} = \frac{n(n-1)(n+4)}{3}$

(4) 496を素因数分解します。$496 = 2^4 \cdot 31$

約数の総和は、 $(1+2+2^2+2^3+2^4)(1+31) = (1+2+4+8+16)(32) = 31 \cdot 32 = 992$

3. 最終的な答え

(3) -364

(5) $\frac{n(n-1)(n+4)}{3}$

(4) 992