2つの自然数 $a$, $b$ ($a < b$) について、$a+b = 8075$ であり、$a$ と $b$ の最小公倍数 $l$ を最大公約数 $g$ で割ったときの商が $84$ である。このような $a$, $b$ の組をすべて求めよ。

1. 問題の内容

2つの自然数 $a$, $b$ ($a < b$) について、$a+b = 8075$ であり、$a$ と $b$ の最小公倍数 $l$ を最大公約数 $g$ で割ったときの商が $84$ である。このような $a$, $b$ の組をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

$a$ と $b$ の最大公約数を $g$ とすると、$a = gx$, $b = gy$ と表せる。ここで、$x$ と $y$ は互いに素な自然数で、$x < y$ である。

$a+b = 8075$ なので、

$gx + gy = 8075$

$g(x+y) = 8075$

また、$a$ と $b$ の最小公倍数 $l$ は $l = gxy$ と表せる。

$l$ を $g$ で割った商が $84$ なので、

$l/g = 84$

$gxy / g = 84$

$xy = 84$

$xy = 84$ と $x < y$ を満たす互いに素な自然数 $x, y$ の組は、以下の通りである。

$84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ であるから、

$(x, y) = (1, 84), (3, 28), (4, 21), (7, 12)$

これらの組について、$x+y$ の値を計算すると、それぞれ $85, 31, 25, 19$ となる。

$g(x+y) = 8075$ より、$g = 8075/(x+y)$ である。

$8075 = 5^2 \cdot 17 \cdot 19$ である。

各 $(x, y)$ の組について、$g = 8075/(x+y)$ を計算する。

(1) $(x, y) = (1, 84)$ のとき、$x+y = 85 = 5 \cdot 17$ より、$g = 8075/85 = 95$

$a = gx = 95 \cdot 1 = 95$, $b = gy = 95 \cdot 84 = 7980$

$a+b = 95 + 7980 = 8075$ となるので条件を満たす。

(2) $(x, y) = (3, 28)$ のとき、$x+y = 31$ より、$g = 8075/31 = 260.48\cdots$

$g$ が整数にならないので不適。

(3) $(x, y) = (4, 21)$ のとき、$x+y = 25 = 5^2$ より、$g = 8075/25 = 323$

$a = gx = 323 \cdot 4 = 1292$, $b = gy = 323 \cdot 21 = 6783$

$a+b = 1292 + 6783 = 8075$ となるので条件を満たす。

(4) $(x, y) = (7, 12)$ のとき、$x+y = 19$ より、$g = 8075/19 = 425$

$a = gx = 425 \cdot 7 = 2975$, $b = gy = 425 \cdot 12 = 5100$

$a+b = 2975 + 5100 = 8075$ となるので条件を満たす。

3. 最終的な答え

$(a, b) = (95, 7980), (1292, 6783), (2975, 5100)$