与えられた関数 $y = \left( \frac{2x+5}{x^2-4} \right)^2$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \left( \frac{2x+5}{x^2-4} \right)^2$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分を行うために、 $y = u^2$ 、 $u = \frac{2x+5}{x^2-4}$ とおきます。

すると、 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = 2u$ です。

$\frac{du}{dx}$ は商の微分公式を使って求めます。

商の微分公式は $\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$ です。

$f(x) = 2x+5$ , $g(x) = x^2-4$ とすると、 $f'(x) = 2$ , $g'(x) = 2x$ となります。

したがって、

$$\frac{du}{dx} = \frac{2(x^2-4) - (2x+5)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{2x^2 - 8 - 4x^2 - 10x}{(x^2-4)^2} = \frac{-2x^2 - 10x - 8}{(x^2-4)^2} = \frac{-2(x^2 + 5x + 4)}{(x^2-4)^2} = \frac{-2(x+1)(x+4)}{(x^2-4)^2}$$

よって、

$$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot \frac{du}{dx} = 2 \cdot \frac{2x+5}{x^2-4} \cdot \frac{-2(x+1)(x+4)}{(x^2-4)^2} = \frac{-4(2x+5)(x+1)(x+4)}{(x^2-4)^3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-4(2x+5)(x+1)(x+4)}{(x^2-4)^3}$