関数 $y = \frac{x^2}{\sqrt{2x-1}}$ を微分する問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^2}{\sqrt{2x-1}}$ を微分する問題です。

2. 解き方の手順

この関数は商の形をしているので、商の微分公式を使います。商の微分公式は、

$\frac{d}{dx} \left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

です。ここで、$u = x^2$、$v = \sqrt{2x-1}$ とおきます。

まず、$u$ の微分を求めます。

$u' = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

次に、$v$ の微分を求めます。$v = \sqrt{2x-1} = (2x-1)^{1/2}$ なので、合成関数の微分公式を使います。

$v' = \frac{d}{dx} (2x-1)^{1/2} = \frac{1}{2} (2x-1)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(2x-1) = \frac{1}{2} (2x-1)^{-1/2} \cdot 2 = (2x-1)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2x-1}}$

したがって、商の微分公式を用いて、

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2x \sqrt{2x-1} - x^2 \frac{1}{\sqrt{2x-1}}}{(\sqrt{2x-1})^2} = \frac{2x \sqrt{2x-1} - \frac{x^2}{\sqrt{2x-1}}}{2x-1}$

分子と分母に $\sqrt{2x-1}$ を掛けて整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x(2x-1) - x^2}{(2x-1)\sqrt{2x-1}} = \frac{4x^2 - 2x - x^2}{(2x-1)\sqrt{2x-1}} = \frac{3x^2 - 2x}{(2x-1)\sqrt{2x-1}} = \frac{x(3x-2)}{(2x-1)^{3/2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{x(3x-2)}{(2x-1)^{3/2}}$