3次方程式 $x^3 + 4x^2 - 3x - 18 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 4x^2 - 3x - 18 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を用いて、方程式の解の候補を見つけます。定数項-18の約数（$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$）を$x$に代入して、$x^3 + 4x^2 - 3x - 18 = 0$ となるものを探します。

$x = 1$ のとき、$1 + 4 - 3 - 18 = -16 \ne 0$

$x = -1$ のとき、$-1 + 4 + 3 - 18 = -12 \ne 0$

$x = 2$ のとき、$8 + 16 - 6 - 18 = 0$

したがって、$x = 2$ は方程式の解の一つです。

$x=2$が解であるから、$x - 2$は$x^3 + 4x^2 - 3x - 18$の因数です。そこで、多項式 $x^3 + 4x^2 - 3x - 18$ を $x - 2$ で割ります。

筆算または組立除法を用いて、

$x^3 + 4x^2 - 3x - 18 = (x - 2)(x^2 + 6x + 9)$

と因数分解できます。

次に、2次方程式 $x^2 + 6x + 9 = 0$ を解きます。

これは $(x + 3)^2 = 0$ と因数分解できるので、 $x = -3$ (重解)

したがって、3次方程式 $x^3 + 4x^2 - 3x - 18 = 0$ の解は $x = 2, -3, -3$ です。

3. 最終的な答え

$x = 2, -3$