関数 $y = |x^2 + 4x|$ のグラフを描け。

1. 問題の内容

関数 $y = |x^2 + 4x|$ のグラフを描け。

2. 解き方の手順

まず、絶対値の中身の関数 $f(x) = x^2 + 4x$ のグラフを考える。

$f(x) = x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4$ なので、これは頂点が $(-2, -4)$ の下に凸な放物線である。

$f(x) = 0$ となるのは、$x^2 + 4x = x(x+4) = 0$ より、$x = 0$ または $x = -4$ のときである。

次に、絶対値をとることを考える。$y = |f(x)|$ のグラフは、$f(x) \ge 0$ のときには $y = f(x)$ であり、$f(x) < 0$ のときには $y = -f(x)$ である。

つまり、$x^2 + 4x \ge 0$ のときには $y = x^2 + 4x$ であり、$x^2 + 4x < 0$ のときには $y = -(x^2 + 4x)$ である。

$x^2 + 4x \ge 0$ となるのは、$x \le -4$ または $x \ge 0$ のときである。

$x^2 + 4x < 0$ となるのは、$-4 < x < 0$ のときである。

したがって、$x \le -4$ または $x \ge 0$ のとき、$y = x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4$ であり、$-4 < x < 0$ のとき、$y = -(x^2 + 4x) = -(x+2)^2 + 4$ である。

つまり、関数 $y = |x^2 + 4x|$ のグラフは、$y = x^2 + 4x$ のグラフの $x$ 軸より下の部分（$-4 < x < 0$ の部分）を $x$ 軸に関して折り返したグラフになる。

具体的には、

* $x \leq -4$ のとき、$y = (x+2)^2 - 4$.

* $-4 < x < 0$ のとき、$y = -(x+2)^2 + 4$.

* $x \geq 0$ のとき、$y = (x+2)^2 - 4$.

3. 最終的な答え

関数 $y = |x^2 + 4x|$ のグラフは、$x \leq -4$ または $x \geq 0$ では $y = x^2 + 4x$ であり、$-4 < x < 0$ では $y = -(x^2 + 4x)$ である。このグラフは、$x \le -4$ で下に凸な放物線、$-4 < x < 0$ で上に凸な放物線、そして $x \ge 0$ で下に凸な放物線をつなぎ合わせた形となる。グラフは $x=-4, x=0$ で $x$軸と交わり、$-4 < x < 0$ の区間では、$x=-2$ で最大値 $4$ となる。