9人の生徒を、指定された人数構成のグループに分ける場合の数を求める問題です。具体的には、 (1) 4人と5人の2つの組に分ける方法 (2) 4人と3人と2人の3つの組に分ける方法 (3) 3人ずつA, B, Cの3つの組に分ける方法 (4) 3人ずつ3つの組に分ける方法 の場合の数をそれぞれ計算します。

1. 問題の内容

9人の生徒を、指定された人数構成のグループに分ける場合の数を求める問題です。具体的には、

(1) 4人と5人の2つの組に分ける方法

(2) 4人と3人と2人の3つの組に分ける方法

(3) 3人ずつA, B, Cの3つの組に分ける方法

(4) 3人ずつ3つの組に分ける方法

の場合の数をそれぞれ計算します。

2. 解き方の手順

(1) 4人と5人の組に分ける方法

9人から4人を選ぶ組み合わせを考えます。残りの5人は自動的にもう一方の組に決まります。

よって、場合の数は、

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{}_9 C_4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126

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(2) 4人、3人、2人の組に分ける方法

まず9人から4人を選び、次に残りの5人から3人を選び、最後に残りの2人から2人を選びます。

よって、場合の数は、

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{}_9 C_4 \times {}_5 C_3 \times {}_2 C_2 = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = 126 \times 10 \times 1 = 1260

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(3) 3人ずつA, B, Cの組に分ける方法

まず9人からAの組の3人を選び、次に残りの6人からBの組の3人を選び、最後に残りの3人からCの組の3人を選びます。

よって、場合の数は、

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{}_9 C_3 \times {}_6 C_3 \times {}_3 C_3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = 84 \times 20 \times 1 = 1680

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(4) 3人ずつ3つの組に分ける方法

(3)と同様に計算しますが、組に名前が付いていないため、3つの組の並び順は区別しません。つまり、3!で割る必要があります。

よって、場合の数は、

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\frac{{}_9 C_3 \times {}_6 C_3 \times {}_3 C_3}{3!} = \frac{1680}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{6} = 280

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3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 1260通り

(3) 1680通り

(4) 280通り