1, 2, 3, 4, 5の5個の数字から異なる2個の数字を選んで分数を作る。約分して値が等しいものは同じものとし、整数になる分数は除くとき、分数は何個できるか。

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4, 5の5個の数字から異なる2個の数字を選んで分数を作る。約分して値が等しいものは同じものとし、整数になる分数は除くとき、分数は何個できるか。

2. 解き方の手順

まず、5個の数字から異なる2個の数字を選んで分数を作る組み合わせの総数を求める。

分子と分母の選び方を考えると、分子になりうる数字は5通り、分母になりうる数字は分子で選んだ数字以外の4通り。したがって、分数を作る組み合わせの総数は $5 \times 4 = 20$通り。

ただし、$\frac{1}{2}$と$\frac{2}{1}$のように分子と分母を入れ替えただけの分数は異なるものとして数えているので、分母と分子を入れ替えただけのものを同一視しない場合は20個となる。

次に、約分できる分数を考える。この問題では約分できる分数はない。

次に、整数になる分数を考える。これは、分子が分母の倍数になっている場合である。

考えられる整数になる分数は、

$\frac{2}{1} = 2$

$\frac{3}{1} = 3$

$\frac{4}{1} = 4$

$\frac{4}{2} = 2$

$\frac{5}{1} = 5$

$\frac{5}{*}$ (分母2以上)

である。ここで、$\frac{4}{2}$は$\frac{2}{1}$と約分すると同じ値になるので、除外しない。

したがって、整数になる分数は$\frac{2}{1}$, $\frac{3}{1}$, $\frac{4}{1}$, $\frac{4}{2}$, $\frac{5}{1}$の5個である。

$\frac{2}{1}=2, \frac{3}{1}=3, \frac{4}{1}=4, \frac{4}{2}=2, \frac{5}{1}=5$.

これらを除くと、20個から5個を引いて、15個。ただし分母分子をひっくり返したものを同一と考えると、$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{3}, \frac{2}{4}, \frac{2}{5}, \frac{3}{4}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}$となる。

次に、分母と分子を入れ替えただけの分数を同一視する。20個の分数の中から、分子と分母を入れ替えたペアを考えると、$10 \times 2 = 20$なので、分母と分子を入れ替えただけの分数を同一視すると、分数の総数は$20 / 2 = 10$個。

ただし、このうち、整数になる分数は、$\frac{2}{1}$, $\frac{3}{1}$, $\frac{4}{1}$, $\frac{4}{2}$, $\frac{5}{1}$の5個。これらの逆数$\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{1}{5}$は整数ではないので、10個の中から5個を引けばよい。

よって、答えは$10 - 5 = 5$ではない。

考えられるすべての分数から重複をなくしていく方法で考える。

1/2, 1/3, 1/4, 1/5

2/3, 2/4 (=1/2), 2/5

3/4, 3/5

4/5

これらの中から、整数になるものを除く。2/1, 3/1, 4/1, 5/1, 4/2 (=2)

1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 2/3, 2/5, 3/4, 3/5, 4/5

よって答えは9個。

3. 最終的な答え

9個