行列 $A = \begin{pmatrix} -1 & 5 & 2 \\ -3 & 5 & 7 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -3 & 8 & -1 \\ -1 & 2 & -3 \end{pmatrix}$ が与えられている。 (1) $4A + 9B - 3X = 5A - 2B$ を満たす行列 $X$ を求める。 (2) $A \cdot {}^tB$ を求める。ここで、${}^tB$ は行列 $B$ の転置行列を表す。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} -1 & 5 & 2 \\ -3 & 5 & 7 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -3 & 8 & -1 \\ -1 & 2 & -3 \end{pmatrix}$ が与えられている。

(1) $4A + 9B - 3X = 5A - 2B$ を満たす行列 $X$ を求める。

(2) $A \cdot {}^tB$ を求める。ここで、${}^tB$ は行列 $B$ の転置行列を表す。

2. 解き方の手順

(1) $4A + 9B - 3X = 5A - 2B$ を $X$ について解く。

$3X = 4A + 9B - 5A + 2B$

$3X = -A + 11B$

$X = \frac{1}{3}(-A + 11B)$

$X = \frac{1}{3} \left( - \begin{pmatrix} -1 & 5 & 2 \\ -3 & 5 & 7 \end{pmatrix} + 11 \begin{pmatrix} -3 & 8 & -1 \\ -1 & 2 & -3 \end{pmatrix} \right)$

$X = \frac{1}{3} \left( \begin{pmatrix} 1 & -5 & -2 \\ 3 & -5 & -7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -33 & 88 & -11 \\ -11 & 22 & -33 \end{pmatrix} \right)$

$X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -32 & 83 & -13 \\ -8 & 17 & -40 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} -32/3 & 83/3 & -13/3 \\ -8/3 & 17/3 & -40/3 \end{pmatrix}$

(2) $A \cdot {}^tB$ を計算する。まず $B$ の転置行列 ${}^tB$ を求める。

${}^tB = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 8 & 2 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$

$A \cdot {}^tB = \begin{pmatrix} -1 & 5 & 2 \\ -3 & 5 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 8 & 2 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} (-1)(-3) + (5)(8) + (2)(-1) & (-1)(-1) + (5)(2) + (2)(-3) \\ (-3)(-3) + (5)(8) + (7)(-1) & (-3)(-1) + (5)(2) + (7)(-3) \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 3 + 40 - 2 & 1 + 10 - 6 \\ 9 + 40 - 7 & 3 + 10 - 21 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 41 & 5 \\ 42 & -8 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $X = \begin{pmatrix} -32/3 & 83/3 & -13/3 \\ -8/3 & 17/3 & -40/3 \end{pmatrix}$

(2) $A \cdot {}^tB = \begin{pmatrix} 41 & 5 \\ 42 & -8 \end{pmatrix}$