互いに素でない正の整数 $a$ と $b$ があり、最小公倍数が $2024$ で、$a + b = 437$ である。 (1) $2024$ と $437$ の最大公約数を求める。 (2) $a$ と $b$ の最大公約数を求める。 (3) $a$ と $b$ の値の組をすべて求める。

1. 問題の内容

互いに素でない正の整数 $a$ と $b$ があり、最小公倍数が $2024$ で、$a + b = 437$ である。

(1) $2024$ と $437$ の最大公約数を求める。

(2) $a$ と $b$ の最大公約数を求める。

(3) $a$ と $b$ の値の組をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) $2024$ と $437$ の最大公約数をユークリッドの互除法を用いて求める。

$2024 = 437 \times 4 + 276$

$437 = 276 \times 1 + 161$

$276 = 161 \times 1 + 115$

$161 = 115 \times 1 + 46$

$115 = 46 \times 2 + 23$

$46 = 23 \times 2 + 0$

したがって、$2024$ と $437$ の最大公約数は $23$ である。

(2) $a$ と $b$ の最大公約数を $g$ とおく。$a = gx$、$b = gy$ ( $x$ と $y$ は互いに素な整数) と表せる。

$a + b = gx + gy = g(x+y) = 437$

最小公倍数 $\text{lcm}(a, b) = \frac{ab}{g} = \frac{g^2 xy}{g} = gxy = 2024$

(1)より、$437 = 23 \times 19$ であるから、$g$ は $437$ の約数である。

$g$ は $2024$ の約数でもある。よって $g$ は $437$ と $2024$ の公約数である。

したがって、$g$ は $23$ の約数であるから、$g = 1$ または $g = 23$ である。

$x+y = \frac{437}{g}$, $xy = \frac{2024}{g}$

$g=1$ のとき、$x+y=437$, $xy=2024$

$x,y$ は $t^2-437t+2024=0$ の解となるが、$D = 437^2-4 \times 2024 = 190969 - 8096 = 182873$ となり、平方数ではないので、整数解を持たない。

$g=23$ のとき、$x+y = \frac{437}{23} = 19$, $xy = \frac{2024}{23} = 88$

$x,y$ は $t^2-19t+88=0$ の解である。

$(t-8)(t-11) = 0$ より、$t=8, 11$

$x=8, y=11$ または $x=11, y=8$

$g=23$ なので、$a=23x=23 \times 8 = 184$、$b=23y=23 \times 11 = 253$

または、$a=23x=23 \times 11 = 253$、$b=23y=23 \times 8 = 184$

$a$ と $b$ は互いに素でないので、$a$ と $b$ の最大公約数は $23$ である。

(3) $a=184, b=253$ または $a=253, b=184$

3. 最終的な答え

(1) $23$

(2) $23$

(3) $(a, b) = (184, 253), (253, 184)$