次の極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2-9} - 2x)$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2-9} - 2x)$

2. 解き方の手順

この極限は $\infty - \infty$ の不定形なので、有理化を行います。

まず、与えられた式に $\frac{\sqrt{4x^2-9}+2x}{\sqrt{4x^2-9}+2x}$ を掛けます。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2-9} - 2x) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2-9} - 2x) \cdot \frac{\sqrt{4x^2-9}+2x}{\sqrt{4x^2-9}+2x}$

分子を計算すると $(\sqrt{4x^2-9})^2 - (2x)^2 = 4x^2-9-4x^2 = -9$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2-9} - 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{-9}{\sqrt{4x^2-9}+2x}$

次に、分母の $x$ で割ることを考えます。分母を$x$で割るために、$\sqrt{4x^2-9} = \sqrt{x^2(4-\frac{9}{x^2})} = x\sqrt{4-\frac{9}{x^2}}$ とします。$x\rightarrow\infty$なので、$x>0$です。

$\lim_{x \to \infty} \frac{-9}{\sqrt{4x^2-9}+2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-9}{x\sqrt{4-\frac{9}{x^2}}+2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-9}{x(\sqrt{4-\frac{9}{x^2}}+2)}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{-9}{x(\sqrt{4-\frac{9}{x^2}}+2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{-9}{x} \cdot \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{4-\frac{9}{x^2}}+2}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{9}{x^2} \to 0$ となるので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-9}{x} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{4-\frac{9}{x^2}}+2} = \frac{1}{\sqrt{4-0}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-9}{x(\sqrt{4-\frac{9}{x^2}}+2)} = 0 \cdot \frac{1}{4} = 0$

3. 最終的な答え

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