円と直線の連立方程式を解き、共有点の座標を求める問題です。 (1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x + 1$ (2) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $x + y = 4$

1. 問題の内容

円と直線の連立方程式を解き、共有点の座標を求める問題です。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x + 1$

(2) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $x + y = 4$

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x + 1$ の場合

ステップ1：直線の式を円の式に代入します。

$x^2 + (x+1)^2 = 25$

ステップ2：式を展開し、整理します。

$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$

$2x^2 + 2x - 24 = 0$

ステップ3：2で割って、さらに簡単にします。

$x^2 + x - 12 = 0$

ステップ4：因数分解します。

$(x + 4)(x - 3) = 0$

ステップ5：xの値を求めます。

$x = -4, 3$

ステップ6：各xの値に対応するyの値を求めます。

$x = -4$ のとき、$y = -4 + 1 = -3$

$x = 3$ のとき、$y = 3 + 1 = 4$

したがって、共有点の座標は $(-4, -3)$と$(3, 4)$です。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $x + y = 4$ の場合

ステップ1：直線の式を$y=$の形に変形します。

$y = 4 - x$

ステップ2：直線の式を円の式に代入します。

$x^2 + (4-x)^2 = 8$

ステップ3：式を展開し、整理します。

$x^2 + 16 - 8x + x^2 = 8$

$2x^2 - 8x + 8 = 0$

ステップ4：2で割って、さらに簡単にします。

$x^2 - 4x + 4 = 0$

ステップ5：因数分解します。

$(x - 2)^2 = 0$

ステップ6：xの値を求めます。

$x = 2$

ステップ7：xの値に対応するyの値を求めます。

$x = 2$ のとき、$y = 4 - 2 = 2$

したがって、共有点の座標は $(2, 2)$です。

3. 最終的な答え

(1) $(-4, -3), (3, 4)$

(2) $(2, 2)$