問題は2つあります。 (1) 行列 $A$ が対称行列であるとき、転置行列 ${}^tA$ と逆行列 $A^{-1}$ も対称行列であることを示す。 (2) 行列 $A$ が交代行列であるとき、転置行列 ${}^tA$ と逆行列 $A^{-1}$ も交代行列であることを示す。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 行列 $A$ が対称行列であるとき、転置行列 ${}^tA$ と逆行列 $A^{-1}$ も対称行列であることを示す。

(2) 行列 $A$ が交代行列であるとき、転置行列 ${}^tA$ と逆行列 $A^{-1}$ も交代行列であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $A$ が対称行列の場合:

対称行列の定義より、${}^tA = A$ が成り立ちます。したがって、${}^tA$ は対称行列です。

次に、$A^{-1}$ が対称行列であることを示します。$A$ が対称行列なので、${}^tA = A$ です。

逆行列の転置の性質より、

${}^t(A^{-1}) = ({}^tA)^{-1} = A^{-1}$

したがって、$A^{-1}$ も対称行列です。

(2) $A$ が交代行列の場合:

交代行列の定義より、${}^tA = -A$ が成り立ちます。したがって、${}^tA$ は交代行列です。

次に、$A^{-1}$ が交代行列であることを示します。$A$ が交代行列なので、${}^tA = -A$ です。

逆行列の転置の性質より、

${}^t(A^{-1}) = ({}^tA)^{-1} = (-A)^{-1} = -(A^{-1})$

したがって、$A^{-1}$ も交代行列です。

3. 最終的な答え

(1) $A$ が対称行列ならば、${}^tA$ と $A^{-1}$ も対称行列である。

(2) $A$ が交代行列ならば、${}^tA$ と $A^{-1}$ も交代行列である。