円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ について、以下の問いに答えます。 (1) 円と直線が共有点を持つときの、定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (2) 円と直線が接するときの、定数 $m$ の値と接点の座標を求めます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ について、以下の問いに答えます。

(1) 円と直線が共有点を持つときの、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(2) 円と直線が接するときの、定数 $m$ の値と接点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円と直線が共有点を持つ条件は、円の中心と直線との距離が円の半径以下であることです。円 $x^2 + y^2 = 5$ の中心は原点$(0, 0)$、半径は $\sqrt{5}$ です。直線 $y = 2x + m$ を変形して、$2x - y + m = 0$ とします。点 $(0, 0)$ と直線 $2x - y + m = 0$ の距離 $d$ は、以下の式で表されます。

$d = \frac{|2(0) - (0) + m|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|m|}{\sqrt{5}}$

円と直線が共有点を持つ条件は $d \le \sqrt{5}$ なので、

$\frac{|m|}{\sqrt{5}} \le \sqrt{5}$

$|m| \le 5$

$-5 \le m \le 5$

(2) 円と直線が接する条件は、円の中心と直線との距離が円の半径に等しいことです。つまり、$d = \sqrt{5}$ となる $m$ を求めます。

$\frac{|m|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

$|m| = 5$

$m = \pm 5$

$m=5$ のとき、直線は $y = 2x + 5$ となります。円の方程式と連立させて $x$ を求めます。

$x^2 + (2x + 5)^2 = 5$

$x^2 + 4x^2 + 20x + 25 = 5$

$5x^2 + 20x + 20 = 0$

$x^2 + 4x + 4 = 0$

$(x + 2)^2 = 0$

$x = -2$

$y = 2(-2) + 5 = 1$

よって、接点の座標は $(-2, 1)$ です。

$m=-5$ のとき、直線は $y = 2x - 5$ となります。円の方程式と連立させて $x$ を求めます。

$x^2 + (2x - 5)^2 = 5$

$x^2 + 4x^2 - 20x + 25 = 5$

$5x^2 - 20x + 20 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

$y = 2(2) - 5 = -1$

よって、接点の座標は $(2, -1)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $-5 \le m \le 5$

(2) $m = 5$ のとき、接点の座標は $(-2, 1)$、 $m = -5$ のとき、接点の座標は $(2, -1)$