複素数平面上に点A, B, C, D があり、それぞれ複素数$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $ti$ で表される。 $\alpha = 2+2i$, $\beta = -1+3i$ である。 点Cは点Aを点Bを中心に $\frac{\pi}{4}$ だけ回転した点である。 点Dは直線BCと虚軸との交点である。 (1) $\frac{\beta}{\alpha}$ を $x+yi$ ($x, y$は実数) の形で表し、さらに $\frac{\beta}{\alpha}$ を $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ ($r>0$, $0 \le \theta < 2\pi$) の形で表したときの $\cos\theta$, $\sin\theta$ の値を求める。 (2) 点Dを表す複素数 $ti$ ($t$は実数) の $t$ の値を求める。

## 回答

1. 問題の内容

複素数平面上に点A, B, C, D があり、それぞれ複素数$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $ti$ で表される。

$\alpha = 2+2i$, $\beta = -1+3i$ である。

点Cは点Aを点Bを中心に $\frac{\pi}{4}$ だけ回転した点である。

点Dは直線BCと虚軸との交点である。

(1) $\frac{\beta}{\alpha}$ を $x+yi$ ($x, y$は実数) の形で表し、さらに $\frac{\beta}{\alpha}$ を $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ ($r>0$, $0 \le \theta < 2\pi$) の形で表したときの $\cos\theta$, $\sin\theta$ の値を求める。

(2) 点Dを表す複素数 $ti$ ($t$は実数) の $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\beta}{\alpha}$ を $x+yi$ の形で表す。

$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{-1+3i}{2+2i} = \frac{(-1+3i)(2-2i)}{(2+2i)(2-2i)} = \frac{-2+2i+6i-6i^2}{4-4i^2} = \frac{-2+8i+6}{4+4} = \frac{4+8i}{8} = \frac{1}{2} + i$

よって、$x = \frac{1}{2}$, $y=1$ である。

次に、$\frac{\beta}{\alpha}$ を $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ の形で表す。

$r = |\frac{\beta}{\alpha}| = |\frac{1}{2} + i| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\cos\theta = \frac{1/2}{\sqrt{5}/2} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{5}/2} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) 点Cを表す複素数を $\gamma$ とする。

$\gamma = \beta + (\alpha - \beta)(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}) = \beta + (\alpha - \beta)(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})$

$\alpha - \beta = (2+2i) - (-1+3i) = 3 - i$

$\gamma = (-1+3i) + (3-i)(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1+3i + \frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} - i^2\frac{\sqrt{2}}{2} = -1+3i + \frac{3\sqrt{2}}{2} + i\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = -1 + 2\sqrt{2} + (3+\sqrt{2})i$

点Dは直線BC上にあるので、実数 $s$ を用いて、

$ti = \beta + s(\gamma - \beta)$ と表せる。

$\gamma - \beta = (-1+2\sqrt{2}+(3+\sqrt{2})i) - (-1+3i) = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} i$

$ti = -1 + 3i + s(2\sqrt{2} + \sqrt{2} i) = -1 + 2\sqrt{2}s + (3+\sqrt{2}s)i$

$ti$ は虚軸上の点なので、実部が0となる。

$-1 + 2\sqrt{2}s = 0$

$2\sqrt{2}s = 1$

$s = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

よって、

$t = 3 + \sqrt{2}s = 3 + \sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{4} = 3 + \frac{2}{4} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{1}{2} + i$, $\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\sin\theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) $t = \frac{7}{2}$