次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to \infty} x \log \frac{x+1}{x-1}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to \infty} x \log \frac{x+1}{x-1}$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{x+1}{x-1}$ を変形します。

$\frac{x+1}{x-1} = \frac{x-1+2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$

したがって、与えられた極限は

$\lim_{x \to \infty} x \log (1 + \frac{2}{x-1})$

となります。

ここで、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となり、$x = \frac{1}{t}$ です。

また、$\frac{2}{x-1} = \frac{2}{\frac{1}{t} - 1} = \frac{2t}{1-t}$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x \log (1 + \frac{2}{x-1}) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log (1 + \frac{2t}{1-t})$

ここで、$\log(1+x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開を考えます。$\log(1+x) = x + O(x^2)$ なので、$x$ が 0 に近いとき $\log(1+x) \approx x$ と近似できます。

したがって、

$\lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log (1 + \frac{2t}{1-t}) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \frac{2t}{1-t} = \lim_{t \to 0} \frac{2}{1-t} = 2$

3. 最終的な答え

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