次の不定積分を求めます。 $\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$

## (1) の問題

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$

2. 解き方の手順

不定積分の線形性と、べき関数の積分公式を利用します。

まず、積分を分割します。

$\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx = \int 6x^5 dx + \int 5x^4 dx - \int \frac{1}{x^2} dx$

次に、定数を積分の外に出します。

$= 6 \int x^5 dx + 5 \int x^4 dx - \int x^{-2} dx$

べき関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （$n \neq -1$）を用いて各項を積分します。

$6 \int x^5 dx = 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} = 6 \cdot \frac{x^6}{6} = x^6$

$5 \int x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}$

したがって、積分は

$x^6 + x^5 - (-\frac{1}{x}) + C = x^6 + x^5 + \frac{1}{x} + C$

3. 最終的な答え

$x^6 + x^5 + \frac{1}{x} + C$

## (2) の問題

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int \left\{ \sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2 \right\} dx$

2. 解き方の手順

積分を計算する前に、式を整理します。

$\sqrt{\frac{4}{x^3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{x^3}} = \frac{2}{x^{3/2}} = 2x^{-3/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{2}} x^{-1/2}$

$(3x)^2 = 9x^2$

したがって、積分は

$\int \left\{ 2x^{-3/2} + \frac{1}{\sqrt{2}} x^{-1/2} + 9x^2 \right\} dx$

積分を分割します。

$= \int 2x^{-3/2} dx + \int \frac{1}{\sqrt{2}} x^{-1/2} dx + \int 9x^2 dx$

定数を積分の外に出します。

$= 2 \int x^{-3/2} dx + \frac{1}{\sqrt{2}} \int x^{-1/2} dx + 9 \int x^2 dx$

べき関数の積分公式を用いて各項を積分します。

$2 \int x^{-3/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1} = 2 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = 2 \cdot (-2) x^{-1/2} = -4x^{-1/2} = -\frac{4}{\sqrt{x}}$

$\frac{1}{\sqrt{2}} \int x^{-1/2} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 x^{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} \sqrt{x} = \sqrt{2} \sqrt{x} = \sqrt{2x}$

$9 \int x^2 dx = 9 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3$

したがって、積分は

$-\frac{4}{\sqrt{x}} + \sqrt{2x} + 3x^3 + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{\sqrt{x}} + \sqrt{2x} + 3x^3 + C$