与えられた積分 $\int \frac{2x-3}{x^3+x^2-2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{2x-3}{x^3+x^2-2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^3 + x^2 - 2$ を因数分解すると、$x=1$ が解であることがわかるので、$(x-1)$ で割ることができます。

$x^3 + x^2 - 2 = (x-1)(x^2 + 2x + 2)$

したがって、積分は

$\int \frac{2x-3}{(x-1)(x^2+2x+2)} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{2x-3}{(x-1)(x^2+2x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}$

両辺に $(x-1)(x^2+2x+2)$ をかけると、

$2x-3 = A(x^2+2x+2) + (Bx+C)(x-1)$

$2x-3 = Ax^2 + 2Ax + 2A + Bx^2 - Bx + Cx - C$

$2x-3 = (A+B)x^2 + (2A-B+C)x + (2A-C)$

係数を比較すると、

$A+B = 0$

$2A-B+C = 2$

$2A-C = -3$

$A+B=0$ より $B = -A$

$2A - B + C = 2A - (-A) + C = 3A + C = 2$

$2A-C = -3$

二つの式を足すと $5A = -1$, よって $A = -\frac{1}{5}$.

$B = -A = \frac{1}{5}$.

$C = 2A+3 = -\frac{2}{5}+3 = \frac{13}{5}$.

したがって、

$\frac{2x-3}{(x-1)(x^2+2x+2)} = \frac{-1/5}{x-1} + \frac{(1/5)x + 13/5}{x^2+2x+2} = -\frac{1}{5(x-1)} + \frac{x+13}{5(x^2+2x+2)}$

$\int \frac{2x-3}{x^3+x^2-2} dx = \int \left( -\frac{1}{5(x-1)} + \frac{x+13}{5(x^2+2x+2)} \right) dx$

$= -\frac{1}{5} \int \frac{1}{x-1} dx + \frac{1}{5} \int \frac{x+13}{x^2+2x+2} dx$

$= -\frac{1}{5} \ln |x-1| + \frac{1}{5} \int \frac{x+13}{x^2+2x+2} dx$

$\int \frac{x+13}{x^2+2x+2} dx = \int \frac{x+1}{x^2+2x+2} dx + \int \frac{12}{x^2+2x+2} dx$

$x^2+2x+2 = (x+1)^2 + 1$

$\int \frac{x+1}{(x+1)^2+1} dx = \frac{1}{2} \ln |(x+1)^2 + 1| = \frac{1}{2} \ln |x^2+2x+2|$

$\int \frac{1}{(x+1)^2+1} dx = \arctan(x+1)$

$\int \frac{12}{x^2+2x+2} dx = 12 \arctan(x+1)$

したがって、

$\int \frac{x+13}{x^2+2x+2} dx = \frac{1}{2} \ln(x^2+2x+2) + 12 \arctan(x+1)$

$\int \frac{2x-3}{x^3+x^2-2} dx = -\frac{1}{5} \ln |x-1| + \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} \ln(x^2+2x+2) + 12 \arctan(x+1) \right) + C$

$= -\frac{1}{5} \ln |x-1| + \frac{1}{10} \ln(x^2+2x+2) + \frac{12}{5} \arctan(x+1) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{5} \ln |x-1| + \frac{1}{10} \ln(x^2+2x+2) + \frac{12}{5} \arctan(x+1) + C$