与えられた積分を計算する問題です。具体的には、以下の4つの積分を計算します。 (1) $\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$ (2) $\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx$ (3) $\int (x-1)(\frac{1}{x}+1) dx$ (4) $\int \frac{x^2 + \sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。具体的には、以下の4つの積分を計算します。

(1) $\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$

(2) $\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx$

(3) $\int (x-1)(\frac{1}{x}+1) dx$

(4) $\int \frac{x^2 + \sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$

各項ごとに積分します。

$\int 6x^5 dx = 6 \int x^5 dx = 6 \cdot \frac{x^6}{6} = x^6$

$\int 5x^4 dx = 5 \int x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$

$\int -\frac{1}{x^2} dx = - \int x^{-2} dx = - \frac{x^{-1}}{-1} = \frac{1}{x}$

よって、

$\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx = x^6 + x^5 + \frac{1}{x} + C$ (Cは積分定数)

(2) $\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx$

$\sqrt{\frac{4}{x^3}} = \frac{2}{x^{3/2}} = 2x^{-3/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2}x^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}x^{-1/2}$

$(3x)^2 = 9x^2$

各項ごとに積分します。

$\int 2x^{-3/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -4x^{-1/2} = -\frac{4}{\sqrt{x}}$

$\int \frac{1}{\sqrt{2}}x^{-1/2} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}}x^{1/2} = \sqrt{2}\sqrt{x} = \sqrt{2x}$

$\int 9x^2 dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3$

よって、

$\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx = -\frac{4}{\sqrt{x}} + \sqrt{2x} + 3x^3 + C$

(3) $\int (x-1)(\frac{1}{x}+1) dx$

展開します。

$(x-1)(\frac{1}{x}+1) = 1 + x - \frac{1}{x} - 1 = x - \frac{1}{x}$

積分します。

$\int (x - \frac{1}{x}) dx = \int x dx - \int \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} - \ln|x| + C$

(4) $\int \frac{x^2 + \sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x} dx$

$\frac{x^2 + \sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} - \frac{\sqrt[3]{x}}{x} = x + x^{-1/2} - x^{-2/3}$

積分します。

$\int (x + x^{-1/2} - x^{-2/3}) dx = \int x dx + \int x^{-1/2} dx - \int x^{-2/3} dx = \frac{x^2}{2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} - \frac{x^{1/3}}{1/3} + C = \frac{x^2}{2} + 2\sqrt{x} - 3\sqrt[3]{x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx = x^6 + x^5 + \frac{1}{x} + C$

(2) $\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx = -\frac{4}{\sqrt{x}} + \sqrt{2x} + 3x^3 + C$

(3) $\int (x-1)(\frac{1}{x}+1) dx = \frac{x^2}{2} - \ln|x| + C$

(4) $\int \frac{x^2 + \sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x} dx = \frac{x^2}{2} + 2\sqrt{x} - 3\sqrt[3]{x} + C$