関数 $f(x) = x \log{\frac{x+1}{x-1}}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x \log{\frac{x+1}{x-1}}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を適用します。ここで $u = x$、$v = \log{\frac{x+1}{x-1}}$ とおくと、$u' = 1$ です。次に、$v = \log{\frac{x+1}{x-1}}$ の微分を考えます。

対数の性質を用いて $v = \log{(x+1)} - \log{(x-1)}$ と変形できます。

したがって、 $v' = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}$ となります。

これを計算すると、

$v' = \frac{(x-1) - (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{-2}{x^2 - 1}$ となります。

積の微分公式より、

$f'(x) = (x)' \log{\frac{x+1}{x-1}} + x (\log{\frac{x+1}{x-1}})'$

$f'(x) = 1 \cdot \log{\frac{x+1}{x-1}} + x \cdot \frac{-2}{x^2 - 1}$

$f'(x) = \log{\frac{x+1}{x-1}} - \frac{2x}{x^2 - 1}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \log{\frac{x+1}{x-1}} - \frac{2x}{x^2 - 1}$