与えられた4つの積分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{3}{x+4} dx$ (2) $\int \frac{1}{3x-6} dx$ (3) $\int (3x^2 + \frac{5}{x} - \frac{2}{x^3}) dx$ (4) $\int \frac{x^3-x+2}{x^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{3}{x+4} dx$

(2) $\int \frac{1}{3x-6} dx$

(3) $\int (3x^2 + \frac{5}{x} - \frac{2}{x^3}) dx$

(4) $\int \frac{x^3-x+2}{x^2} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$\int \frac{3}{x+4} dx = 3 \int \frac{1}{x+4} dx$

$u = x+4$ と置くと、$du = dx$ となり、

$3 \int \frac{1}{u} du = 3 \ln |u| + C = 3 \ln |x+4| + C$

(2)

$\int \frac{1}{3x-6} dx = \frac{1}{3} \int \frac{3}{3x-6} dx$

$u = 3x-6$ と置くと、$du = 3dx$ となり、

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln |u| + C = \frac{1}{3} \ln |3x-6| + C$

(3)

$\int (3x^2 + \frac{5}{x} - \frac{2}{x^3}) dx = \int 3x^2 dx + \int \frac{5}{x} dx - \int \frac{2}{x^3} dx$

$= 3 \int x^2 dx + 5 \int \frac{1}{x} dx - 2 \int x^{-3} dx$

$= 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 5 \ln |x| - 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C$

$= x^3 + 5 \ln |x| + \frac{1}{x^2} + C$

(4)

$\int \frac{x^3-x+2}{x^2} dx = \int (\frac{x^3}{x^2} - \frac{x}{x^2} + \frac{2}{x^2}) dx$

$= \int (x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}) dx = \int x dx - \int \frac{1}{x} dx + 2 \int x^{-2} dx$

$= \frac{x^2}{2} - \ln |x| + 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C$

$= \frac{x^2}{2} - \ln |x| - \frac{2}{x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $3 \ln |x+4| + C$

(2) $\frac{1}{3} \ln |3x-6| + C$

(3) $x^3 + 5 \ln |x| + \frac{1}{x^2} + C$

(4) $\frac{x^2}{2} - \ln |x| - \frac{2}{x} + C$