関数 $y = e^x \cos x$ の$n$次導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = e^x \cos x$ の$n$次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$の導関数をいくつか計算して、規則性を見つけることを試みます。

$y' = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x(\cos x - \sin x)$

$y'' = e^x(\cos x - \sin x) + e^x(-\sin x - \cos x) = -2e^x\sin x$

$y''' = -2e^x\sin x - 2e^x\cos x = -2e^x(\sin x + \cos x)$

$y'''' = -2e^x(\sin x + \cos x) + (-2e^x)(\cos x - \sin x) = -4e^x\cos x$

このままでは規則性を見つけるのが難しいので、三角関数の合成を利用します。

$y = e^x \cos x = e^x \sqrt{1^2+1^2} \cos (x - \arctan \frac{0}{1}) = \sqrt{2}e^x \cos(x - 0)$

$y' = e^x(\cos x - \sin x) = \sqrt{2}e^x \cos(x + \frac{\pi}{4})$

$y'' = -2e^x\sin x = 2e^x(-\sin x) = (\sqrt{2})^2e^x \cos(x + \frac{2\pi}{4})$

$y''' = -2e^x(\sin x + \cos x) = 2\sqrt{2}e^x\cos(x + \frac{3\pi}{4}) = (\sqrt{2})^3e^x \cos(x + \frac{3\pi}{4})$

$y'''' = -4e^x\cos x = 4e^x(-\cos x) = (\sqrt{2})^4e^x \cos(x + \pi)$

$y^{(5)} = 4e^x(-\cos x + \sin x) = 4\sqrt{2}e^x \cos(x + \frac{5\pi}{4}) = (\sqrt{2})^5e^x\cos(x + \frac{5\pi}{4})$

したがって、$y^{(n)} = (\sqrt{2})^n e^x \cos(x + \frac{n\pi}{4})$ と推測できます。

数学的帰納法で証明します。

(1) $n=1$のとき、$y' = \sqrt{2} e^x \cos(x + \frac{\pi}{4})$となり、正しい。

(2) $n=k$のとき、$y^{(k)} = (\sqrt{2})^k e^x \cos(x + \frac{k\pi}{4})$が成り立つと仮定する。

(3) $n=k+1$のとき、

$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx}y^{(k)} = \frac{d}{dx} (\sqrt{2})^k e^x \cos(x + \frac{k\pi}{4})$

$= (\sqrt{2})^k e^x \cos(x + \frac{k\pi}{4}) + (\sqrt{2})^k e^x (-\sin(x + \frac{k\pi}{4}))$

$= (\sqrt{2})^k e^x [\cos(x + \frac{k\pi}{4}) - \sin(x + \frac{k\pi}{4})]$

$= (\sqrt{2})^k e^x [\sqrt{2} \cos(x + \frac{k\pi}{4} + \frac{\pi}{4})]$

$= (\sqrt{2})^{k+1} e^x \cos(x + \frac{(k+1)\pi}{4})$

よって、$n=k+1$のときも成り立つ。

したがって、数学的帰納法より、$y^{(n)} = (\sqrt{2})^n e^x \cos(x + \frac{n\pi}{4})$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = (\sqrt{2})^n e^x \cos(x + \frac{n\pi}{4})$