3点 $A(1, 2)$, $B(3, p)$, $C(-p, 0)$ が一直線上にあるとき、$p$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3点 $A(1, 2)$, $B(3, p)$, $C(-p, 0)$ が一直線上にあるとき、$p$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

3点が一直線上にあるとき、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ は平行になります。つまり、$\vec{AC} = k \vec{AB}$ となる実数 $k$ が存在します。

$\vec{AB} = (3-1, p-2) = (2, p-2)$

$\vec{AC} = (-p-1, 0-2) = (-p-1, -2)$

$\vec{AC} = k \vec{AB}$ より、

$(-p-1, -2) = k(2, p-2)$

したがって、以下の2つの式が成り立ちます。

$-p-1 = 2k$ ...(1)

$-2 = k(p-2)$ ...(2)

(2)より、$k = \frac{-2}{p-2}$　（ただし、$p \neq 2$）

これを(1)に代入して、

$-p-1 = 2\left(\frac{-2}{p-2}\right)$

$-p-1 = \frac{-4}{p-2}$

両辺に $p-2$ を掛けて、$p \neq 2$ であることに注意すると、

$(-p-1)(p-2) = -4$

$-p^2 + 2p - p + 2 = -4$

$-p^2 + p + 2 = -4$

$p^2 - p - 6 = 0$

$(p-3)(p+2) = 0$

$p = 3$ または $p = -2$

$p=2$のとき、$B(3, 2)$となり、$A(1, 2)$、$B(3, 2)$、$C(-2, 0)$は一直線上にありません。

$A, B$の$y$座標が等しいので直線は$y=2$で表され、$C$はこの直線上にありません。

したがって、$p=3$ または $p = -2$

$p = 3$のとき、$A(1, 2)$, $B(3, 3)$, $C(-3, 0)$. $\vec{AB} = (2, 1)$, $\vec{AC} = (-4, -2) = -2(2, 1)$.

$p = -2$のとき、$A(1, 2)$, $B(3, -2)$, $C(2, 0)$. $\vec{AB} = (2, -4)$, $\vec{AC} = (1, -2) = \frac{1}{2}(2, -4)$.

どちらも成り立つので解である。

3. 最終的な答え

$p = -2, 3$