正の整数の組$(x, y)$が$\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 1$を満たすとき、$|x-y|$の値が最大となる$(x, y)$の値を求める。

1. 問題の内容

正の整数の組$(x, y)$が$\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 1$を満たすとき、$|x-y|$の値が最大となる$(x, y)$の値を求める。

2. 解き方の手順

$\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 1$を変形する。

$\frac{2}{y} = 1 - \frac{3}{x} = \frac{x-3}{x}$

$y = \frac{2x}{x-3}$

$y = \frac{2(x-3) + 6}{x-3} = 2 + \frac{6}{x-3}$

$x, y$は正の整数なので、$x-3$は6の約数である必要がある。

6の約数は1, 2, 3, 6なので、$x-3$は1, 2, 3, 6のいずれかである。

それぞれの$x$について$y$を計算する。

* $x-3 = 1$のとき、$x = 4$、$y = 2 + \frac{6}{1} = 8$。$(x, y) = (4, 8)$、 $|x-y| = |4-8| = 4$

* $x-3 = 2$のとき、$x = 5$、$y = 2 + \frac{6}{2} = 5$。$(x, y) = (5, 5)$、 $|x-y| = |5-5| = 0$

* $x-3 = 3$のとき、$x = 6$、$y = 2 + \frac{6}{3} = 4$。$(x, y) = (6, 4)$、 $|x-y| = |6-4| = 2$

* $x-3 = 6$のとき、$x = 9$、$y = 2 + \frac{6}{6} = 3$。$(x, y) = (9, 3)$、 $|x-y| = |9-3| = 6$

$|x-y|$が最大となるのは$(x, y) = (9, 3)$のときである。

3. 最終的な答え

(9, 3)