xy平面上に円 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ と直線 $y=mx$ ($m>1$) がある。円の中心をCとし、円と直線の交点を原点に近い順にA, Bとする。三角形ABCの面積をSとする。 (1) Sの最大値と、そのときの角ACBの大きさを求める。 (2) $m>1$ の場合に、線分ABの長さをmを用いて表す。 (3) Sが最大値をとるときのmの値を求める。

1. 問題の内容

xy平面上に円 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ と直線 $y=mx$ ($m>1$) がある。円の中心をCとし、円と直線の交点を原点に近い順にA, Bとする。三角形ABCの面積をSとする。

(1) Sの最大値と、そのときの角ACBの大きさを求める。

(2) $m>1$ の場合に、線分ABの長さをmを用いて表す。

(3) Sが最大値をとるときのmの値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円の中心Cは(1, 1)である。直線 $y=mx$ と円 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ の距離dは、点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}}$

三角形ABCの面積Sは、ABを底辺、CからABへの距離を高さとみると、

$S = \frac{1}{2}AB \times d$

ABの長さは、$AB = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ ($r$は円の半径でr=1)なので、

$S = \sqrt{r^2 - d^2} \times d = \sqrt{1 - d^2} \times d$

$S = \sqrt{1 - (\frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}})^2} \times \frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}}\sqrt{1 - \frac{(m-1)^2}{m^2+1}}$

$S = \frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}}\sqrt{\frac{m^2+1-(m^2-2m+1)}{m^2+1}} = \frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}}\sqrt{\frac{2m}{m^2+1}} = \frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}}\frac{\sqrt{2m}}{\sqrt{m^2+1}}$

$S = \frac{|m-1|\sqrt{2m}}{m^2+1}$

$m>1$なので、

$S = \frac{(m-1)\sqrt{2m}}{m^2+1}$

Sを最大にするには、$S^2$を最大にすれば良い。

$S^2 = \frac{(m-1)^2 \cdot 2m}{(m^2+1)^2} = \frac{(m^2 - 2m + 1)2m}{m^4 + 2m^2 + 1} = \frac{2m^3 - 4m^2 + 2m}{m^4 + 2m^2 + 1}$

ここで、$m=1$のとき、$S = 0$ なので、最大値を取るのは、$d = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のときである。このとき、$AB = 2\sqrt{1-(\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = 2\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$。

$S = \sqrt{1-\frac{1}{2}}\times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

$d = \frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$を解くと、

$\sqrt{2}|m-1| = \sqrt{m^2+1}$

$2(m^2 - 2m + 1) = m^2+1$

$2m^2 - 4m + 2 = m^2 + 1$

$m^2 - 4m + 1 = 0$

$m = \frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2} = \frac{4\pm\sqrt{12}}{2} = \frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2} = 2\pm\sqrt{3}$

$m>1$なので、$m=2+\sqrt{3}$.

このとき、三角形は直角二等辺三角形であるから、$\angle ACB = \frac{\pi}{2}$.

(2)

$AB = 2\sqrt{1 - d^2} = 2\sqrt{1 - (\frac{m-1}{\sqrt{m^2+1}})^2} = 2\sqrt{1 - \frac{(m-1)^2}{m^2+1}} = 2\sqrt{\frac{2m}{m^2+1}} = 2\sqrt{\frac{2m}{m^2+1}}$

(3)

$m=2+\sqrt{3}$のとき、$S=\frac{1}{2}$となる。

3. 最終的な答え

(1) Sの最大値は $\frac{1}{2}$、そのときの角ACBの大きさは $\frac{\pi}{2}$。

(2) $AB = 2\sqrt{\frac{2m}{m^2+1}}$

(3) $m=2+\sqrt{3}$