行列 $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ に対して、$A^n$ (nは0以上の整数) を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ に対して、$A^n$ (nは0以上の整数) を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ を観察します。これは回転行列の形をしています。具体的には、

$A = \begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}$

の形であり、この場合、$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$、$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

$A = \begin{pmatrix} \cos{\frac{\pi}{3}} & -\sin{\frac{\pi}{3}} \\ \sin{\frac{\pi}{3}} & \cos{\frac{\pi}{3}} \end{pmatrix}$

回転行列の性質から、

$A^n = \begin{pmatrix} \cos{n\theta} & -\sin{n\theta} \\ \sin{n\theta} & \cos{n\theta} \end{pmatrix}$

したがって、

$A^n = \begin{pmatrix} \cos{\frac{n\pi}{3}} & -\sin{\frac{n\pi}{3}} \\ \sin{\frac{n\pi}{3}} & \cos{\frac{n\pi}{3}} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^n = \begin{pmatrix} \cos{\frac{n\pi}{3}} & -\sin{\frac{n\pi}{3}} \\ \sin{\frac{n\pi}{3}} & \cos{\frac{n\pi}{3}} \end{pmatrix}$