定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan{x} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan{x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\tan{x}$ を $\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$ と書き換えます。

$\int \tan{x} \, dx = \int \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \, dx$

次に、置換積分を行います。$u = \cos{x}$ と置くと、$du = -\sin{x} \, dx$ となります。したがって、

$\int \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \, dx = \int \frac{-du}{u} = -\int \frac{1}{u} \, du = -\ln{|u|} + C = -\ln{|\cos{x}|} + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan{x} \, dx = \left[-\ln{|\cos{x}|}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\ln{|\cos{\frac{\pi}{2}}|} - (-\ln{|\cos{0}|}) = -\ln{0} + \ln{1}$

$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ なので、$\ln(0)$ は定義されません。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \cos{x} = 0$ なので、$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (-\ln{|\cos{x}|}) = \infty$ となります。

よって、この定積分は発散します。

3. 最終的な答え

発散