(1) $7^{100}$ を5で割った余りを求めよ。 (2) $500!$ を計算したとき、末尾に連続する0の個数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $7^{100}$ を5で割った余りを求めよ。

(2) $500!$ を計算したとき、末尾に連続する0の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $7^{100}$ を5で割った余りを求める。

$7 \equiv 2 \pmod{5}$ であるから、

$7^{100} \equiv 2^{100} \pmod{5}$

$2^2 = 4 \equiv -1 \pmod{5}$ であるから、

$2^{100} = (2^2)^{50} \equiv (-1)^{50} \pmod{5}$

$(-1)^{50} = 1$ より、

$7^{100} \equiv 1 \pmod{5}$

よって、$7^{100}$ を5で割った余りは1。

(2) $500!$ の末尾に連続する0の個数を求める。

$500!$ の末尾に連続する0の個数は、$500!$ を素因数分解したときの5の指数に等しい。

$500$ 以下の5の倍数の個数は $\lfloor \frac{500}{5} \rfloor = 100$

$500$ 以下の $5^2=25$ の倍数の個数は $\lfloor \frac{500}{25} \rfloor = 20$

$500$ 以下の $5^3=125$ の倍数の個数は $\lfloor \frac{500}{125} \rfloor = 4$

$500$ 以下の $5^4=625$ の倍数の個数は $\lfloor \frac{500}{625} \rfloor = 0$

よって、$500!$ の素因数分解における5の指数は $100+20+4 = 124$ である。

したがって、$500!$ の末尾に連続する0の個数は124個。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 124