$\tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x}$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

$\tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x}$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x}$ と置きます。

$\tan^{-1}x$ の導関数は $\frac{1}{1+x^2}$ であり、$\tan^{-1}\frac{1}{x}$ の導関数は $\frac{1}{1+(\frac{1}{x})^2} \cdot (-\frac{1}{x^2})$ です。

したがって、$y$ の導関数は、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+(\frac{1}{x})^2} \cdot (-\frac{1}{x^2})$$

となります。

これを整理すると、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{1+x^2} + \frac{x^2}{x^2+1} \cdot (-\frac{1}{x^2})$$

$$= \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2+1} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 0$$

となります。

3. 最終的な答え

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